Fermi-Dirac BOSE EINSTEIN - NO SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENS. FENOM.

O abrandamento de átomos por meio de arrefecimento produz um estado quântico único conhecido como condensado de Bose ou condensado de Bose-Einstein. Este fenômeno foi teorizado nos anos 20 por Albert Einstein, ao generalizar o trabalho de Satyendra Nath Bose sobre a mecânica estatística dos Fótons (sem massa) para átomos(com massa). (O manuscrito de Einstein, que se pensava estar perdido, foi encontrado em 2005 numa biblioteca da Universidade de Leiden). O resultado do trabalho de Bose e Einstein é o conceito de gás de Bose, governado pela estatística de Bose-Einstein que descreve a distribuição estatística de partículas idênticas de spin inteiro, conhecidas hoje em dia como Bósons. As partículas bosónicas, que incluem o Fóton e átomos como o He-4, podem partilhar estados quânticos umas com as outras. Einstein especulou que arrefecendo os átomos bosónicos até temperaturas muito baixas os faria colapsar (ou "condensar") para o mais baixo estado quântico acessível, resultando numa nova forma de matéria.

Esta transição ocorre abaixo de uma temperatura crítica, a qual, para um gás tridimensional uniforme consistindo em partículas não-interactivas e sem graus internos de liberdade aparentes, é dada por:

T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde:

$T_{c}$	é	a temperatura crítica,
$n$		a densidade da partícula,
$m$		a massa por bóson,
$h$		a constante de Planck,
$k_{B}$		a constante de Boltzmann, e
$\zeta$		a função zeta de Riemann; $\zeta (3/2)$ ≈ 2.6124.

O princípio de exclusão de Pauli pode ser deduzido a partir da hipótese de que um sistema de partículas só pode ocupar estados quânticos anti-simétricos. De acordo com o teorema spin-estatística, sistemas de partículas idênticas de spin inteiro ocupam estados simétricos, enquanto sistemas de partículas de spin semi-inteiro ocupam estados anti-simétricos; além disso, apenas valores de spin inteiros ou semi-inteiros são permitidos pelos princípio da mecânica quântica.

Como discutido no artigo sobre partículas idênticas, um estado anti-simétrico no qual uma das partículas está no estado

\left|\psi _{1}\right\rangle

(nota) enquanto a outra está no estado

\left|\psi _{2}\right\rangle

|\psi _{1},\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle -|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle {\Big )}.

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

No entanto, se

\left|\psi _{1}\right\rangle

\left|\psi _{2}\right\rangle

são exatamente o mesmo estado, a expressão acima é identicamente nula:

|\psi _{1},\psi _{2}\rangle =0.

Isto não representa um estado quântico válido, porque vetores de estado que representem estados quânticos têm obrigatoriamente que ser normalizáveis, isto é devem ter norma finita. Em outras palavras, nunca poderemos encontrar as partículas que formam o sistema ocupando um mesmo estado quântico.

Em mecânica estatística, a estatística de Bose–Einstein (ou mais coloquialmente estatística B-E) determina a distribuição estatística de bósons idênticos indistinguíveis sobre os estados de energia em equilíbrio térmico.

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

O número esperado de partículas num estado de energia i é:

n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon _{i}-\mu }{k_{B}T}}-1}}

x

x
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

onde:

n_{i}

é o número de partículas no estado i.

g_{i}

é a degenerecência quântica do estado i.

\epsilon _{i}

é a energia do estado i.

\mu

é o potencial químico.

k_{B}

é a constante de Boltzmann.

T

é a temperatura.

A estatística de Bose-Einstein reduz-se à estatística de Maxwell-Boltzmann para energias:

(\epsilon _{i}-\mu )>>kT

Em mecânica estatística, a estatística Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.^[1]^[2]

O número esperado de partículas com energia

\epsilon _{i}

para a estatística de Maxwell–Boltzmann é

N_{i}

onde:

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde:

$N_{i}$ é o número de partículas no estado i
$\epsilon _{i}$ é a energia do estado i-ésimo
$g_{i}$ é a degenerescência do nível de energia i, o número de estados dos partículas (excluindo o estado de "partícula livre") com energia $\epsilon _{i}$
$\mu$ é o potencial químico
$k$ é a constante de Boltzmann
$T$ é a temperatura absoluta
$N$ é o número total de partículas

N=\sum _{i}N_{i}\,

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

$Z$ é a função partição

Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

$e^{(...)}$ é a função exponencial, sendo e o número de Euler

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude

m

e cada um deles têm uma quantidade

m_{i}

da magnitude

m

e ao longo do tempo ocorre que

\sum _{i=1}^{N}M=m_{1}+m_{2}+...+m_{N}

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

ΤDCG

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Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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Limites de aplicação[editar | editar código-fonte]

Para um sistema de partículas quânticas, a hipótese de que

N_{i}

seja substancialmente menor que

g_{i}

para os estados diferentes do fundamental em geral não se cumprirá e é necessário recorrer-se à estatística de Bose-Einstein se as partículas são bosônicas ou à estatística de Fermi-Dirac se as partículas são fermiônicas.

As estatísticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac podem ser expressas como:

N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}\pm 1}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Assumindo que o valor mínimo de

\epsilon _{i}

é bastante pequeno, se pode verificar que a condição na qual a distribuição de Maxwell-Boltzmann é válida é quando se cumpre que:

e^{-\mu /kT}\gg 1

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Para um gás ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvimento da equação de Sackur–Tetrode para demonstrar que:

\mu =\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)_{S,V}=-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde

E

é a energia interna total,

S

é a entropia,

V

é o volume, e

\Lambda

é o comprimento de onda térmico de de Broglie. A condição de aplicação para a distribuição Maxwell-Boltzmann em um gás ideal resulta:

{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Em mecânica estatística, a estatística de Fermi-Dirac é uma estatística quântica que rege as partículas de spin semi-inteiro, os férmions. Leva o nome de dois eminentes físicos: Enrico Fermi e Paul Adrien Maurice Dirac cada um dos quais descobriu o método de forma independente (embora Fermi definisse as estatísticas anteriores ao Dirac).^[1]^[2]

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

A distribuição de Fermi-Dirac é dada por

n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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sistema de dez dimensões de Graceli +
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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D

Onde:

n_{i}

é o número médio de partículas no estado de energia

\epsilon _{i}

g_{i}

é a degeneração do estado i-ésimo

\epsilon _{i}

é a energia no estado i-ésimo

\mu

é o potencial químico

T

é a temperatura

k_{B}

a constante de Boltzmann

Nos casos em que

\mu

é a energia de Fermi

E_{F}\

g_{i}=1\

, a função é chamada de função Fermi:

F(E)={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-E_{F})/kT}+1}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Fermi-Dirac distribution as a function of temperature. More states are occupied at higher temperatures.

Interpretação física[editar | editar código-fonte]

Para baixas temperaturas, a distribução de Fermi é uma função de passo que vale 1 se $\epsilon <\mu$ e 0 se $\epsilon >\mu$ . Isto quer dizer que as partículas vão se posicionando desde o nivel mais baixo de energia até acima devido ao princípio de exclusão de Pauli até que se tenham postas todas as partículas. A energia do último nível ocupado se denomina energia de Fermi e a temperatura à que corresponde esta energia mediante $\epsilon _{f}=k_{B}T_{f}$ $\epsilon _{f}=k_{B}T_{f}$ , a temperatura de Fermi.

Se da circunstância de que a temperatura de Fermi da maioria dos metais reais é enorme (da ordem de 10000 Kelvin), portanto a aproximação de dizer que a distribução de Fermi-Dirac segue sendo um escalar até temperatura ambiente é válida com bastante precisão.

A distribuição de Fermi-Dirac tem importância capital no estudo de gases de férmions e em particular no estudo dos elétrons livres em um metal.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein aplicadas quando efeitos quânticos tendem a ser levadas em conta e as partículas são consideradas "indistinguíveis". Os efeitos quânticos aparecem se a concentração de partículas (N/V) ≥ n_q(aonde n_q é a concentração quântica). A concentração quântica é quando a distância interpartículas é igual ao comprimento de onda térmico de de Broglie, i.e. quando a funções de onda das partículas são atingidos mas não ultrapassados. Como a concentração quântica depende da temperatura; altas temperaturas irão colocar a maioria dos sistemas no limite clássico sem eles terem uma muito alta densidade, e.g. uma anã branca. A estatística de Fermi–Dirac é aplicada a férmions (partículas que obedecem ao princípio de exclusão de Pauli), a estatística de Bose–Einstein é aplicada a bósons. Tanto Fermi–Dirac e Bose–Einstein tornam-se a estatística de Maxwell–Boltzmann a altas temperaturas ou baixas concentrações.

Estatísticas de Maxwell–Boltzmann são frequentemente descritas como estatísticas de partículas clássicas "distinguíveis". Em outras palavras a configuração de partícula A no estado 1 e a partícula B no estado 2 é diferente do caso aonde a partícula B está no estado 1 e a partícula A está no estado 2. Quando esta idéia é estendida, conduz à distribuição própria (de Boltzmann)de partículas em estados de energia, mas conduz a resultados sem significado físico para a entropia, conforme encorporado no paradoxo de Gibbs. Estes problemas desaparecem quando se percebe que todas as partículas são de fato indistinguíveis entre sí. Ambas as distribuições se aproximam da distribuição de Maxwell-Boltzmann no limite de alta temperatura e baixa densidade, sem a necessidade de quaisquer pressupostos adicionais ad hoc. A distribuição estatística de Maxwell–Boltzmann é particularmente útil para estudar gases. A distribuição estatística de Fermi–Dirac é mais usualmente usada para o estudo do comportamento de elétrons em sólidos. Como tal, é a base da teoria dos dispositivos semicondutores e da eletrônica.

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

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X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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T l   T l    E l      Fl        dfG l

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domingo, 4 de agosto de 2019

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